Mathematik unmöglicher Objekte

Betrachten wir die Menge G₃ aller dreidimensionalen „Gegenstände“ oder „Objekte“ (z.B. geometrische Körper, Polytrope, ... ) als abgeschlossene Teilmengen des dreidimensionalen Raumes IR³. Wir setzen über diese Menge zunächst nichts voraus, obwohl vielleicht gewisse Annahmen wie Abzählbarkeit oder die Existenz endlicher Erzeugenden („Prototypen“, Grundfiguren) vernünftig wäre. Sei ferner F₂ die Menge der zweidimensionalen „Figuren“, also abgeschlossene Teilmengen der Fläche IR², die lokal (d.h. in der Schnittmenge mit mindestens einer offenen Teilmenge des IR²) als die Projektion eines Gegenstandes (bzw. seiner Schnittmenge mit einer offenen Teilmenge des IR³) darstellbar sind. Betrachten wir dann die perspektivischen Projektionen

P_3,2: G₃ —› F₂.

G₃ ist also so etwas wie die „reale Welt“. P_3,2 ist eine wohldefinierte Abbildung (zu jedem geometrischen Körper existiert ein Abbild!). Aber: Sie ist weder injektiv noch surjektiv. Denn es gibt erstens mehrere Gegenstände, die ein gleiches Bild ergeben; zweitens existieren zweidimensionale Figuren („Bilder“), die keine Projektion dreidimensionaler Körper sind: „unmögliche Objekte“. Trotzdem funktioniert der Konstruktionsmechanismus

K_2,3: F₂ —› G₃

gegeben durch die lokalen mentalen Konstruktionsregeln, auch bei diesen Objekten. Damit ergibt sich also folgendes Bild:

Die Konstruktion K_2,3 der dritten Dimension ist eine n:m-Abbildung, während die Abbildung einer zweidimensionalen Figur auf die ebenfalls zweidimensionale Netzhaut des Auges eine 1:1-Abbildung darstellt.